Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2 ， 是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，

有

得 ，

得

（2）解：假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， =

當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3， （舍去），

∴g（x）無最小值．

當(dāng) 時，g（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

∴ ，a=e2，滿足條件．

當(dāng) 時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3， （舍去），

∴f（x）無最小值．

綜上，存在實數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

【解析】（1）由函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)得 在[1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．（2）先假設(shè)存在實數(shù)a，求導(dǎo)得 = ，a在系數(shù)位置對它進(jìn)行討論，結(jié)合x∈（0，e]分當(dāng)a≤0時，當(dāng) 時，當(dāng) 時三種情況進(jìn)行．