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【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.

(1)求橢圓的方程；

(2) 為橢圓上任意一點，若，求的最大值和最小值.

(3)求的面積.

【答案】(1) (2) 最大值為1和最小值為（3）

【解析】試題分析：（1）由離心率及焦點坐標，易得方程；

（2）設則直線的方程為，與橢圓聯立由得的范圍，又，即可得解；

（3）設直線的方程為，與橢圓聯立，利用韋達定理得中點坐標，從而由的斜率，解得，進而得，由點到直線距離求得，利用求解即可.

試題解析：

(1)由已知得， ，

解得，又，

所以橢圓的方程為.

(2)設則直線的方程為，則.

由，得①

， 的最大值為1和最小值為.

(3)設直線的方程為，

由，得①

設的坐標分別為， ， 中點為，

則， ，

因為是等腰的底邊，所以，

所以的斜率，

解得，此時方程①為，

解得， ，所以， ，

所以，此時，點到直線的距離

，所以的面積.

練習冊系列答案
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