Question

5．求函數(shù)y=x+$\sqrt{x（2-x）}$的值域．

Answer 1

分析 可以將原函數(shù)變成2x²-2（y+1）x+y²=0，可把該式看成關(guān)于x的方程，方程在[0，2]上有解．可求出f（0）≥0，f（2）≥0，從而可得道y滿足△≥0，這樣解不等式并根據(jù)y≥0即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：原函數(shù)的定義域為[0，2]；
由原函數(shù)得y-x=$\sqrt{x（2-x）}$，兩邊平方，并整理得：
2x²-2（y+1）x+y²=0，可將該式看成關(guān)于x的一元二次方程，方程在[0，2]上有解；
f（x）=2x²-2（y+1）x+y²，f（0）=y²≥0；
∵f（2）=8-4（y+1）+y²=（y-2）²≥0；
∴y需滿足△=4（y+1）²-8y²≥0；
解得$1-\sqrt{2}≤y≤1+\sqrt{2}$；
又y≥0；
∴0≤y$≤1+\sqrt{2}$；
∴原函數(shù)的值域為[0，1$+\sqrt{2}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，求帶根號的函數(shù)處理方法：平方去根號，注意求出原函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求原函數(shù)的值域，要熟悉二次函數(shù)的圖象．