Question

已知任意一個(gè)正整數(shù)的三次冪可表示成一些連續(xù)奇數(shù)的和，如圖所示，3³可表示1³=1  2³=3+5  3³=7+9+11  4³=13+15+17+19…為7+9+11，則我們把7、9、11叫做3³的“數(shù)因子”，若n³的一個(gè)“數(shù)因子”為2015，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：新定義,推理和證明

分析：由題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出前n個(gè)正整數(shù)的三次冪的“數(shù)因子”的個(gè)數(shù)是

n(n+1)

2

，再判斷出2015是第1008個(gè)奇數(shù)，再由條件和特值法判斷出2015應(yīng)是45³的一個(gè)“數(shù)因子”．

解答： 解：由題意知，n³可表示為n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，且所有正整數(shù)的“數(shù)因子”都是按照從小到大的順序排列的，
所以前n個(gè)正整數(shù)的三次冪的“數(shù)因子”共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

個(gè)，
因?yàn)?015=2×1008-1，故2015是第1008個(gè)奇數(shù)，
而

44×45

2

=990＜1008，

45×46

2

=1035＞1008，
所以44³的最大“數(shù)因子”是第990個(gè)奇數(shù)，45³的最大“數(shù)因子”是第1035個(gè)奇數(shù)，
故第1008個(gè)奇數(shù)：2015應(yīng)是45³的一個(gè)“數(shù)因子”，
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的應(yīng)用，歸納推理，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，考查觀察、分析、歸納能力．