Question

國慶期間襄陽某體育用品專賣店抓住商機大量購進某特許商品進行銷售，該特許產(chǎn)品的成本為20元/個，每日的銷售量y（單位：個）與單價x（單位：元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=

a

x-20

+4(x-50)2，（其中20＜x＜50，a為常數(shù)）．當銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個．
（1）求a的值及每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤L（x）；
（2）試確定單價x的值，使所獲得的總利潤L（x）最大．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,應(yīng)用題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意401=

a

40-20

+4•（40-50）²，從而求出參數(shù)值，再寫出總利潤L（x）即可；
（2）化簡L（x）=4x³-480x²+18000x-199980，求導L′（x）=12（x-30）（x-50），討論其正負從而確定單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵y=

a

x-20

+4(x-50)2，
∴401=

a

40-20

+4•（40-50）²，
解得，a=20；
∴y=

20

x-20

+4(x-50)2，
則每日銷售該特許產(chǎn)品所獲取的總利潤
L（x）=y（x-20）=（

20

x-20

+4(x-50)2）（x-20）=20+4（x-20）•（x-50）²，（20＜x＜50）
（2）由L（x）=20+4（x-20）•（x-50）²=4x³-480x²+18000x-199980，
L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50），
則當x∈（20，30）時，L′（x）＞0，L（x）為增函數(shù)；
當x∈（30，50）時，L′（x）＜0，L（x）為減函數(shù)；
則當x=30時，L_max（x）=16020．
即當銷售單價為30元/個時，
所獲得的總利潤最大，為16020元．

點評：本題考查了將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力及導數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．