Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且過點A（0，1），
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于點M，N（M，N不與點A重合）．直線MN是否過定點？若過定點，則求出定點坐標；若不過定點，則請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，過點A（0，1），則b=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即可求得a²=3，求得橢圓的方程；
（2）由M，N不與點B重合，所以直線AM的斜率存在，且不為零，設(shè)AM的斜率為k，則AN的斜率為-$\frac{1}{k}$，直線AM方程：y=kx+1，代入橢圓方程．求得M和N的坐標，即可求得直線MN的直線方程，直線方程過過定點（0，-$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，過點A（0，1），則b=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）由M，N不與點B重合，所以直線AM的斜率存在，且不為零．…（5分）
設(shè)AM的斜率為k，則AN的斜率為-$\frac{1}{k}$．
直線AM方程：y=kx+1，
直線AN方程：y=-$\frac{1}{k}$x+1．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+1）x²+6kx=0．…（7分）
由韋達定理定理可知：x_M+0=-$\frac{6k}{3k^2+1}$，
∴點M橫坐標x_M=-$\frac{6k}{3k^2+1}$，縱坐標y_M=k•x_M+1=$\frac{1-3k^2}{3k^2+1}$．…（9分）
用-$\frac{1}{k}$替換k可得點N橫坐標x_N=$\frac{6k}{k^2+3}$，縱坐標y_N=$\frac{k^2-3}{k^2+3}$．…（12分）
直線MN方程：y=$\frac{k^2-1}{4k}$x-$\frac{1}{2}$．…（15分）
由此，可知，過定點（0，-$\frac{1}{2}$）．…（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及直線方程的應用，考查計算能力，屬于中檔題．