設(shè)a,b,x,y∈R+,且x2+y2=r2(r>0),求證:
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
≥r(a+b).
分析:設(shè)z1=ax+byi,z2=bx+ayi(a,b,x,y∈R+),則
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|,再利用|z1+z2|=|(a+b)x+(a+b)yi|=|(a+b)(x+yi)|=(a+b)•r,命題得證.
解答:證明:令復(fù)數(shù)z1=ax+byi,復(fù)數(shù)z2═bx+ayi(a,b,x,y∈R+)
,則問題化歸為證明:|z1|+|z2|≥r(a+b).
設(shè)z1=ax+byi,z2=bx+ayi(a,b,x,y∈R+),則
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|
=|(a+b)x+(a+b)yi|=|(a+b)(x+yi)|=(a+b)•r.
故不等式成立.
點(diǎn)評:本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其幾何意義,不等式的證明方法.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a,b,x,y∈R且滿足a2+b2=m,x2+y2=n,求ax+by的最大值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a,b,x,y∈R+,且a2+b2=1,x2+y2=1,試證:ax+by≤1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a,b,x,y∈R+
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
,若z=ax+by的最大值為2,則
2
α
+
3
b
的最小值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)a,b,x,y∈R+,且a2+b2=1,x2+y2=1,試證:ax+by≤1.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案