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設a，b，x，y∈R+，且x2+y2=r2（r＞0），求證：
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
≥r（a+b）．
分析：設z1=ax+byi，z2=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|，再利用|z1+z2|=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r，命題得證．
解答：證明：令復數z1=ax+byi，復數z2═bx+ayi（a，b，x，y∈R+）
，則問題化歸為證明：|z1|+|z2|≥r（a+b）．
設z1=ax+byi，z2=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），則
a2x2+b2y2
+
a2y2+b2x2
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|
=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r．
故不等式成立．
點評：本題考查復數代數形式及其幾何意義，不等式的證明方法．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，x，y∈R且滿足a2+b2=m，x2+y2=n，求ax+by的最大值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，x，y∈R+，且a2+b2=1，x2+y2=1，試證：ax+by≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a，b，x，y∈R+且
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
，若z=ax+by的最大值為2，則
2
α
+
3
b
的最小值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設a，b，x，y∈R+，且a2+b2=1，x2+y2=1，試證：ax+by≤1．

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