Question

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=

3

2

，△ABC的面積S=

3

2

，a=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦、二倍角的余弦函數(shù)公式分別化簡函數(shù)f（x）解析式的前兩項，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，可求A，由三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA可求bc，再由余弦定理可求b+c

解答：解：（I）∵f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

．
=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1
∴f(x)=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
令2kπ-

1

2

π≤x-

π

6

≤2kπ+

1

2

π，k∈Z可得2kπ-

1

3

π≤x≤2kπ+

2π

3

單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

1

3

π，2kπ+

2π

3

]，k∈Z…（6分）
（II）∵f(A)=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）+1=

3

2

即sin（A-

π

6

）=

1

2

∵0＜A＜π
∴A=

1

3

π
∵△ABC的面積S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

2

∴bc=2
∵a=

3

由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccos60°
即3=b²+c²-2=（b+c）²-6
∴b+c=3…（12分）

點評：此題考查了三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．