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已知二次函數f（x）=x2-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x1＜x2，使得不等式f（ x1）＞f（ x2）成立．設數列{an}的前n項和 Sn=f（n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求數列{ an}的通項公式．

解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a2-4a=0，解得a=0或a=4．
當a=0時，函數f（x）=x2在（0，+∞）上遞增，不滿足條件②；
當a=4時，函數f（x）=x2-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②．
綜上得a=4，即f（x）=x2-4x+4．
（2）由（1）知Sn=n2-4n+4=（n-2）2，
當n=1時，a1=S1=1；
當n≥2時an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5．
∴．
分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，知△=a2-4a=0，解得a=0或a=4．由此能求出f（x）的表達式．
（2）由（1）知Sn=n2-4n+4=（n-2）2，由此能求出數列{ an}的通項公式．
點評：本題考查函數f（x）的表達式的求法和求數列{ an}的通項公式．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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