已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為
2
2
．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
（I）求橢圓C的方程；
（II）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為
2
2
，確定幾何量之間的關(guān)系，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）記P（x1，y1）、Q（x2，y2），設(shè)直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯(lián)立，求得x1=
-4k2+4k+2
1+2k2
，同理得x2=
-4k2-4k+2
1+2k2
，再利用kPQ=
y1-y2
x1-x2
，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：由題設(shè)，∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為
2
2
．
∴
4
a2
+
1
b2
=1，①且
a2-b2
a
=
2
2
，②
由①、②解得a2=6，b2=3，
∴橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
3
=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：記P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
設(shè)直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯(lián)立，得（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0，
∵-2，x1是該方程的兩根，∴-2x1=
8k2-8k-4
1+2k2
，即x1=
-4k2+4k+2
1+2k2
．
設(shè)直線MQ的方程為y+1=-k（x+2），同理得x2=
-4k2-4k+2
1+2k2
．…（9分）
因y1+1=k（x1+2），y2+1=-k（x2+2），
故kPQ=
y1-y2
x1-x2
=
k(x1+2)+k(x2+2)
x1-x2
=
k(x1+x2+4)
x1-x2
=1，
因此直線PQ的斜率為定值．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，確定橢圓的方程，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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