Question

已知實數(shù)x，y滿足x²+xy+y²=3，則x²-xy+y²的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：設x²-xy+y²=m，又x²+xy+y²=3，可得3-m=2xy．由于x²+y²≥2|xy|，可得-3≤xy≤1，即可得出．

解答： 解：設x²-xy+y²=m，
∵x²+xy+y²=3，∴3-m=2xy．
∵x²+y²≥2|xy|，當且僅當x=±y時取等號．
∴3≥-2xy+xy，3≥2xy+xy，
化為-3≤xy≤1，
∴-6≤2xy≤2．
∴-6≤3-m≤2，
解得1≤m≤9．
∴x²-xy+y²的取值范圍為[1，9]．
故答案為：[1，9]．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了靈活變形能力，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．