Question

某魚(yú)塘2009年初有魚(yú)10（萬(wàn)條），每年年終將捕撈當(dāng)年魚(yú)總量的50%，在第二年年初又將有一部分新魚(yú)放入魚(yú)塘．根據(jù)養(yǎng)魚(yú)的科學(xué)技術(shù)知識(shí)，該魚(yú)塘中魚(yú)的總量不能超過(guò)19.5（萬(wàn)條）（不考慮魚(yú)的自然繁殖和死亡等因素對(duì)魚(yú)總量的影響），所以該魚(yú)塘采取對(duì)放入魚(yú)塘的新魚(yú)數(shù)進(jìn)行控制，該魚(yú)塘每年只放入新魚(yú)b（萬(wàn)條）．
（I）設(shè)第n年年初該魚(yú)塘的魚(yú)總量為a_n（年初已放入新魚(yú)b（萬(wàn)條），2010年為第一年），求a₁及a_n+1與a_n間的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)b=10時(shí)，試問(wèn)能否有效控制魚(yú)塘總量不超過(guò)19.5（萬(wàn)條）？若有效，說(shuō)明理由；若無(wú)效，請(qǐng)指出哪一年初開(kāi)始魚(yú)塘中魚(yú)的總量超過(guò)19.5（萬(wàn)條）．

Answer 1

分析：（I）由題意知2010年初該魚(yú)塘的魚(yú)總量為a1=10×(1-

1

2

)+b=5+b，然后根據(jù)此規(guī)律得到an+1=

1

2

an+b(n∈N*)；
（Ⅱ）把b=10代入得到{a_n-20}是首項(xiàng)為-5，公比為

1

2

的等比數(shù)列，即可得到a_n的通項(xiàng)公式，令a_n＞19.5，解出n的值，然后從2010算出第幾年無(wú)效即可．

解答：解：（I）依題意，a1=10×(1-

1

2

)+b=5+b，
an+1=

1

2

an+b(n∈N*)
（Ⅱ）當(dāng)b=10時(shí)，an+1=

1

2

an+10，?an+1-20=

1

2

(an-20)，
所以{a_n-20}是首項(xiàng)為-5，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
故an-20=-5×(

1

2

)n-1，
得an=20-5×(

1

2

)n-1=20-10×(

1

2

)n
若第n年初無(wú)效，則20-10×(

1

2

)n＞19.5?2ⁿ＞20?n≥5．
所以n≥5，則第5年初開(kāi)始無(wú)效．
即2014年初開(kāi)始無(wú)效．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及會(huì)找等比關(guān)系，會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．