Question

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），（

m

-

n

）⊥

m

，且A為銳角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得，利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得可得（

m

-

n

）•

m

=0，解得
sin（A-

π

6

） 的值，再由A為銳角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，化簡(jiǎn)f（x）=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，由sinx∈[-1，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），可得

m

•

n

=

3

sinA-cosA，
再由（

m

-

n

）⊥

m

，可得（

m

-

n

）•

m

=

m

2-

m

•

n

=1-

3

sinA+cosA=2sin（A-

π

6

）-1=0，
解得 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由A為銳角得 A-

π

6

=

π

6

，故有A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，
因?yàn)閤∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，f（x）有最大值

3

2

，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）有最小值-3，所以所求函數(shù)f（x）的值域是[-3，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角
函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．