Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為

3

5

（1）求C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列出方程，離心率列出方程，利用a、b、c關(guān)系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；
（2）利用直線過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

，寫出直線方程，聯(lián)立方程組，利用寫出公式求出被C所截線段的長(zhǎng)度．

解答： 解：（1）將（0，4）代入C的方程得

16

b2

=1，
∴b=4，
又e=

c

a

=

3

5

，
得

a2-b2

a2

=

9

25

即1-

16

a2

=

9

25

，
∴a=5
∴C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（ 2）過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線方程為y=

4

5

(x-3)，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

+

(x-3)2

25

=1，
即x²-3x-8=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-8．
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

41

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．