Question

定義：若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過變換T后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)與f（x）的值域相同，則稱變換T是f（x）的同值變換．下面給出了四個函數(shù)與對應(yīng)的變換：
（1）f（x）=（x-1）²，T₁將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；
（2）f（x）=2^x-1-1，T₂將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱；
（3）f（x）=

x

x+1

，T₃將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-1，1）對稱；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），T₄將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱．
其中是f（x）的同值變換的有（　�。﹤�．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）關(guān)于y軸對稱，顯然函數(shù)值不變，所以值域相同，所以是同值變換；
（2）關(guān)于x軸對稱，顯然函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，值域由原來的（-1，+∞），變?yōu)椋?∞，1），所以值域不同，所以不是同值變換；
（3）（4）對于這兩個函數(shù)，分別求出關(guān)于點（-1，1）和（-1，0）的對稱圖象對應(yīng)函數(shù)解析式，再求對應(yīng)的值域，與原來的值域比較即可．

解答： 解：（1）圖象關(guān)于y軸對稱變換后，x變?yōu)樗�的相反�?shù)，而函數(shù)值不變，所以值域和變換前的相同，所以是同值變換；
（2）關(guān)于x軸對稱后，x值不變，y值變?yōu)樗�的相反�?shù)，所以值域不同了，所以不是同值變換；
（3）關(guān)于點（-1，1）對稱：設(shè)（x，y）是f（x）圖象上任一點，它關(guān)于（-1，1）的對稱點設(shè)為（x₀，y₀），則：

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =1

，得到

x=-x0-2 y=-y0+2

，所以-y0+2=

-x0-2

-x0-2+1

，即y0=

x0

x0+1

，和原函數(shù)是同一函數(shù)，所以值域相同，所以是同值函數(shù)；
（4）關(guān)于點（-1，0）對稱：設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）=sin（x+

π

3

）上任一點，該點關(guān)于（-1，0）的對稱點設(shè)為（x₀，y₀），則：

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =0

，得到：

x=-x0-2 y=-y0

，帶入原函數(shù)得：-y0=sin(-x0-2+

π

3

)，即y0=sin(x0+2-

π

3

)，該函數(shù)的值域是[-1，1]，原函數(shù)的值域也是[-1，1]，所以為同值變換；
綜上得：同值函數(shù)有3個．
故選：C．

點評：考查圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，關(guān)于x軸的對稱圖象的特點，以及已知函數(shù)解析式，求它關(guān)于一個點對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式的方法．