Question

二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC?α，BC?β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，則AC與平面β所成的角等于

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   45°
4. D.
   75°

Answer 1

C
分析：在AC上取一點(diǎn)G，在平面α內(nèi)過(guò)G點(diǎn)作GD⊥EF于D，在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，連接GH．先利用平面α與平面β互相垂直，證出CD是直線AC在平面β內(nèi)的射影，得到∠GCD是直線AC與平面β所成的角，再利用直線與平面垂直的判定定理，證出BC⊥平面GDH，從而得到BC⊥GH．設(shè)CH=1，分別在Rt△CGH中和Rt△CDH中利用余弦的定義，計(jì)算出CG=2，CD=，最后在Rt△GCD中，計(jì)算出∠GCD的余弦值為，可得∠GCD=45°，從而AC與平面β所成的角等于45°．
解答：如圖，在AC上取一點(diǎn)G，在平面α內(nèi)過(guò)G點(diǎn)作GD⊥EF于D，在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，連接GH
∵二面角α-EF-β是直二面角，∴α⊥β
∵α∩β=EF，GD?α，GD⊥EF，
∴GD⊥平面β，
∴∠GCD是直線AC與平面β所成的角，
∵BC?平面β，∴BC⊥GD
又∵BC⊥DH，GD∩DH=D，GD、DH?平面GDH
∴BC⊥平面GDH
∵GH?平面GDH，∴BC⊥GH，
Rt△CGH中，∠GCH=60°，設(shè)CH=1，則CG==2，
Rt△CDH中，∠DCH=45°，得CD==
∴Rt△GCD中，cos∠GCD=，可得∠GCD=45°
即AC與平面β所成的角等于45°
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題在兩個(gè)平面所成角為直角的情況下，已知一個(gè)平面內(nèi)與交線成45度角的直線跟另一平面內(nèi)過(guò)斜足的直線成60度角，通過(guò)求直線與平面所成的角，考查了平面與平面垂直的性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．