Question

14．如圖，在棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）證明B₁D⊥面A₁BC₁；
（2）求點B₁到面A₁BC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由A₁C₁⊥面DBB₁D₁，知A₁C₁⊥B₁D．由A₁B⊥面ADC₁B₁，知A₁B⊥B₁D，所以B₁D⊥面A₁BC₁．
（2）在三棱錐B₁-BA₁C₁中有${V}_{{B}_{1}-B{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$，即可求出點B₁到面A₁BC₁的距離．

解答 （1）證明：連接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，B₁D₁∩DD₁=D₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（2）解：∵設(shè)點B₁到面A₁BC₁的距離為h，在三棱錐B₁-BA₁C₁中有${V}_{{B}_{1}-B{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{B-{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}a）^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

點評 本題考查空間中點、線、面間的距離，證明直線和平面垂直，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．