Question

有3個(gè)不相同的球和4個(gè)盒子，盒子的編號(hào)分別為1、2、3、4，將球逐個(gè)獨(dú)立地、隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中去．以η表示其中至少有球的盒子的最小號(hào)碼．（例如，事件η=3表示第1號(hào)，第2號(hào)盒子都是空的，第3號(hào)盒子中至少有一個(gè)球）．
（1）當(dāng)η=2時(shí)，求P（η=2）；
（2）求η的分布列及期望Eη．

Answer 1

分析：（1）由題意η=2說(shuō)明2號(hào)盒子中可以有1個(gè)球或兩個(gè)球或3個(gè)球，而1號(hào)盒子為空，分2號(hào)盒子中可以有1個(gè)球或兩個(gè)球或3個(gè)球三類用古典概型分別求概率，再取和即可．
（2）η所能取到的值為1，2，3，4，η=k表示前k-1個(gè)盒子為空，第k號(hào)盒子不空，分別求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：（1）η=2說(shuō)明2號(hào)盒子中可以有1個(gè)球或兩個(gè)球或3個(gè)球
所以

C 1 3 ×22+ C 2 3 ×2+ C 3 3

43

=

19

64

（2）η所能取到的值為1，2，3，4
P(η=1)=

C 1 3 ×32+ C 2 3 ×3+ C 3 3

43

=

37

64

P(η=3)=

C 1 3 + C 2 3 + C 3 3

43

=

7

64

P(η=4)=

C 3 3

43

=

1

64

所以分布列為：
期望Eη=

25

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)事件的分布列及期望等知識(shí)，考查利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．