Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＞1，若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)第一問的單調(diào)性先對|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|進(jìn)行化簡整理，轉(zhuǎn)化成研究g（x）=f（x）-4x在（0，+∞）單調(diào)增函數(shù)，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$，（x＞0），
a≥0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
故函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）遞減；
（2）不妨設(shè)x₁≤x₂，而a＞1，
由（1）得：f（x）在（0，+∞）遞增，
從而對任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|
等價(jià)于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）-4x₂≥f（x₁）-4x₁①
令g（x）=f（x）-4x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-4
①等價(jià)于g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，即$\frac{1}{x}$+2ax-4≥0．
從而2a≥$\frac{4}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$-（\frac{1}{x}-2）^{2}$+4，∴a≥2
故a的取值范圍為[2，+∞）．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．