Question

（2013•韶關(guān)二模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，S_n為其前n項(xiàng)和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，cn=

1

bnbn+1

，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．若對?n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由 5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，依題意，可化簡求得q=2，首項(xiàng)a₁=2，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）依題意，可求得c_n=

1

n

-

1

n+1

，從而可得T_n=

n

n+1

，由

n

n+1

≤k（n+4）可求得k≥

1

n+ 4 n +5

，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵5S₁，S₃，3S₂成等差數(shù)列，
∴2S₃=5S₁+3S₂…（1分）
即2（a₁+a₁q+a₁q²）=5a₁+3（a₁+a₁q），
化簡得 2q²-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-

3

2

…（3分）
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q=-

3

2

不合題意…（4分）
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=2ⁿ．…（5分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log22n=n…（6分）
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（7分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（8分）
∵

n

n+1

≤k（n+4）
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

…（9分）
=

1

n+ 4 n +5

…-（11分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n=

4

n

，即n=2時等號成立------（12分）
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

 …（13分）
∴k的取值范圍[

1

9

，+∞）．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求和與基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題．