Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（1，t），$\overrightarrow$（3t，2），求$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 進行向量的坐標運算，先求出$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$，可設y=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$，這樣來求y的范圍，討論t=0和t≠0：t=0，便得到y(tǒng)=0，而t≠0時，可得到y(tǒng)=$\frac{5}{10t+\frac{5}{t}}$，這樣利用基本不等式即可求出y的范圍，從而得出答案．

解答 解：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{5t}{1+{t}^{2}+9{t}^{2}+4}$=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$；
設y=$\frac{5t}{10{t}^{2}+5}$；
①若t=0，y=0；
②若t≠0，則y=$\frac{5}{10t+\frac{5}{t}}$；
1）t＞0時，$10t+\frac{5}{t}≥10\sqrt{2}$，當$10t=\frac{5}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”；
∴$0＜y≤\frac{\sqrt{2}}{20}$；
2）t＜0時，10t$+\frac{5}{t}$=$-[（-10t）+\frac{5}{-t}]≤-10\sqrt{2}$，當t=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”；
∴$-\frac{\sqrt{2}}{20}≤y＜0$；
∴綜上得，$-\frac{\sqrt{2}}{20}≤y≤\frac{\sqrt{2}}{20}$；
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}}$的取值范圍為：[$-\frac{\sqrt{2}}{20}$，$\frac{\sqrt{2}}{20}$]．

點評 考查數(shù)量積的坐標運算，由向量坐標求向量長度，以及基本不等式的運用，注意基本不等式成立的條件，不要漏了t=0的情況．