Question

6．已知直線l₁：2x+y=3與直線l₂：x-y=0相交于點A．
（Ⅰ）求過點A且垂直于直線l₁的直線l₃的方程；
（Ⅱ）求直線l₁與直線l₄：4x+2y+m²+1=0間距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得A的坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于-1求得直線l₃的斜率，用點斜式求得直線l₃的方程．
（Ⅱ）先將兩條直線的方程的x，y的系數(shù)化一致，代入平行線距離公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）聯(lián)立直線l₁和直線l₂的方程$\left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得：x=y=1，
故A點坐標(biāo)為（1，1），
由l₃⊥l₁，l₁的斜率為-2，
故l₃的斜率為$\frac{1}{2}$，
故直線l₃的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y+1=0，
（Ⅱ）直線l₁的方程可化為：4x+2y-6=0，
則直線l₁與直線l₄的距離d=$\frac{|{m}^{2}+1-（-6）|}{\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|{m}^{2}+7|}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7}{2\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，
故直線l₁與直線l₄間距離的最小值為$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．

點評 本小題主要考查直線垂直的性質(zhì)，直線的交點，平行線之間的距離等知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．