Question

已知a＞b＞0，曲線C上任意一點P分別與點A（-a，0）、B（a，0）連線的斜率的乘積為-

b2

a2

．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+h（k≠0，h≠0）與x軸、y軸分別交于M、N兩點，若曲線C與直線沒有公共點，求證：|MN|＞a+b．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得kPA•kPB=

y

x+a

•

y

x-a

=-

b2

a2

，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+h

，得（b²+a²k²）x²+2a²hkx+a²（h²-b²）=0，由此能證明|MN|＞a+b．

解答： （Ⅰ）解：設曲線C上任意一點P的坐標為（x，y）．
依題意kPA•kPB=

y

x+a

•

y

x-a

=-

b2

a2

，
且x≠±a，…（3分）
整理得

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴曲線C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，x≠±a．…（5分）
（Ⅱ）證明：由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+h

，得（b²+a²k²）x²+2a²hkx+a²（h²-b²）=0，
∴△=4a²h²k²-4（b²+a²k²）a²（h²-b²）＜0，
即b²+a²k²＜h²，…（7分）
由已知條件可知M（-

h

k

，0），N（0，h），
∴|MN|2=

h2

k2

+h2＞

b2+a2k2

k2

+a2k2
=a2+b2+

b2

k2

+a2k2
≥a²+b²+2ab，
∴|MN|²＞（a+b）²，即|MN|＞a+b．…（13分）

點評：本題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想和化歸與轉化思想等，具有一定的難度．