Question

19．已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc=1，求證：$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 通過(guò)題意可知a=$\frac{1}{bc}$、b=$\frac{1}{ac}$、c=$\frac{1}{ab}$，進(jìn)而$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}}$，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：依題意，a=$\frac{1}{bc}$、b=$\frac{1}{ac}$、c=$\frac{1}{ab}$，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$+$\sqrt{\frac{1}{ab}}$
=$\sqrt{\frac{1}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}}$
＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}$+$\frac{1}{a}$）
=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．