Question

14．已知棱長為1的正方體AC₁，E、F分別為B₁C₁和C₁D₁的中點．
（1）求證：E、F、B、D共面；
（2）求證：BE、DF、CC₁三線共點；
（3）求棱臺C₁EF-CBD的體積．

Answer 1

分析 （1）先證BD∥EF，通過EF，BD兩直線共面，得E、F、D、B共面；
（2）設BE∩DF=O，證明O∈CC₁，即可證明BE、DF、CC₁三線共點；
（3）利用兩個錐體體積的差求棱臺C₁EF-CBD的體積．

解答 （1）證明：∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，
∴EF，BD兩直線共面，
∴E、F、D、B共面；
（2）證明：設BE∩DF=O，
則O∈平面DC₁，O∈平面BC₁，
∵平面DC₁∩平面BC₁=CC₁，
∴O∈CC₁，
∴BE、DF、CC₁三線共點；
（3）解：棱臺C₁EF-CBD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查求棱臺C₁EF-CBD的體積，考查平面基本性質的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．