Question

15．已知f（x）=xlnx-x．
（1）求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），根據(jù)f′（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最的單調(diào)性，這樣即可求得f（x）的最大值和最小值，
（2）要證$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．即證$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx＜-1恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f′（x）=lnx+1-1=lnx，
令lnx=0，解得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即1＜x≤e時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即$\frac{1}{e}$≤x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）_min=f（1）=-1，
f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=$-\frac{2}{e}$，f（e）=elne-e=0，
綜上所述f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值為0，最小值為-1；
（2）要證$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx成立．即證$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx＜-1恒成立
設(shè)g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$-lnx，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{3-2x}{2{x}^{2}}$
∵g′（e）=-$\frac{1}{{e}^{e}}$+$\frac{3-2e}{2{e}^{2}}$＜0，
∴對(duì)任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，g′（x）＜0恒成立
∴g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{e}}}$-$\frac{3e}{2}$+1＜-1
∴$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{2x}$+1＜lnx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，及單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．