Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x  
（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若a=-

1

2

，且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m?m≥f（x）_min，x∈[1，e]．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）a=-

1

2

，關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b化為lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b=0，令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b，x∈[1，4]，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，可得：當x=2時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（2）=ln2-2-b．而g（1）＜g（4）．由于關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，可得g（2）＜0，g（1）＞0，解出即可．
（3）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方?f（x）＜2ax．令h（x）=f（x）-2ax=lnx-

1

2

ax²-（2+2a）x，因此f（x）＜2ax?h（x）_max＜0．h′（x）=

1

x

-ax-（2+2a）=

-ax2-(2+2a)x+1

x

，對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）當a=1時，?x₀∈[1，e]，使不等式f（x₀）≤m?m≥f（x）_min，x∈[1，e]．
f′（x）=

1

x

-x-2=

-(x2+2x-1)

x

=

-(x+1)2+2

x

＜0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[1，e]單調(diào)遞減，
∴當x=e時，f（x）取得最小值f（e）=1-

1

2

e2-2e．
∴實數(shù)m的取值范圍是[1-

1

2

e2-2e，+∞)；
（2）a=-

1

2

，關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b化為lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b=0，
令g（x）=lnx+

1

4

x2-

3

2

x-b，x∈[1，4]，
g′（x）=

1

x

+

1

2

x-

3

2

=

x2-3x+2

2x

=

(x-1)(x-2)

2x

，
令g′（x）＞0，解得2＜x＜4，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當x=2時，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（2）=ln2-2-b．
而g（1）=-

5

4

-b，g（4）=2ln2-2-b，而g（4）-g（1）=2ln2-2+

5

4

=2ln2-

3

4

＞0，∴g（1）＜g（4）．
∵關(guān)于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，
∴g（2）＜0，g（1）＞0，解得ln2-2＜b≤-

5

4

．
∴實數(shù)b的取值范圍是ln2-2＜b≤-

5

4

．
（3）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方?f（x）＜2ax．
令h（x）=f（x）-2ax=lnx-

1

2

ax²-（2+2a）x，因此f（x）＜2ax?h（x）_max＜0．
h′（x）=

1

x

-ax-（2+2a）=

-ax2-(2+2a)x+1

x

，
①a=0時，h′（x）=

-2x+1

x

＜0，此時函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）＜h（1）=-2＜0，滿足條件；
②a≠0時，由△=（2+2a）²+4a＜0時，解出

-3- 5

2

＜a＜

-3+ 5

2

，
當

-3- 5

2

＜a＜

-3+ 5

2

時，-a＞0，∴h′（x）＞0，
因此函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（1）=-

1

2

a-2-2a=-

5a

2

-2，此時不滿足h（x）_max＜0，舍去．
③a≠0時，由△=（2+2a）²+4a＞0時，解得a＞

-3+ 5

2

或a＜

-3- 5

2

，
當a＜

-3- 5

2

時，-a＞0，由h′（x）=0，x₁+x₂=-

2+2a

a

＜0，x1x2=

1

-a

＞0，∴x₁，x₂＜0．
h′(x)=

-a(x-x1)(x-x2)

x

＞0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，舍去．
當a＞0時，x₁=

-(1+a)- a2+3a+1

a

＜0，x2=

-(1+a)+ a2+3a+1

a

＜1，
當x＞1時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（1）=-

5a

2

-2＜0，滿足題意．
當

-3+ 5

2

＜a＜0時，x₁x₂＞1，x₁+x₂＞0，x₂＜1＜x₁．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（1，x₁）單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）單調(diào)遞增，舍去．
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍是a≥0．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值值域及其函數(shù)的零點、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系，考查了等價轉(zhuǎn)化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題．