Question

12．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2DC=2，E為BD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∠DAB=60°．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）若BB₁=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求A₁F與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件容易得出EF∥AD₁，根據(jù)線面平行的判定定理即可得出EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取AF中點(diǎn)G，連接DG，可以說明DG，DC，DD₁三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得出向量$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{{A}_{1}F}$的坐標(biāo)，可設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$可以求出法向量$\overrightarrow{m}$，可設(shè)A₁F和平面DEF所成角為θ，從而根據(jù)sin$θ=|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{A}_{1}F}＞|$即可求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）證明：E為BD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)；
∴EF為△ABD₁的中位線；
∴EF∥AD₁，AD₁?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁；
∴EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）AB∥CD，AB=2DC，F(xiàn)為AB中點(diǎn)；
∴DC∥FB，且DC=FB；
∴四邊形DCBF為平行四邊形；
∴DF=CB，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°；
∴△ADF為等邊三角形，∠ADF=60°；
取AF中點(diǎn)G，連接DG，則∠GDC=90°；
即DG⊥DC，又DD₁⊥底面ABCD；
∴DG，DC，DD₁三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
$D（0，0，0），{D}_{1}（0，0，\frac{\sqrt{2}}{2}），B（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，$E（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}），F(xiàn)（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0），{A}_{1}（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}），\overrightarrow{DF}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}F}=（0，1，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，則：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{3}{4}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}z}\\{x=\frac{\sqrt{6}}{6}z}\end{array}\right.$，取z=1，則$\overrightarrow{m}=（\frac{\sqrt{6}}{6}，-\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$；
設(shè)A₁F和平面DEF所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{A}_{1}F}，\overrightarrow{m}＞|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴A₁F和平面DEF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查線面平行的判定定理，直四棱柱的定義，平行四邊形的定義，線面垂直的性質(zhì)，以及通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，平面法向量的概念，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，清楚直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量的夾角的關(guān)系．