Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的值域；
（3）將f（x）的圖象左移$\frac{3π}{8}$個(gè)單位后得g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式與倍角公式可得：f（x）=（sinx+cosx）•sinx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$．可得$T=\frac{2π}{2}$，由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解出即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，可得$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，可得$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，即可得出f（x）的值域；
（3）將f（x）的圖象左移$\frac{3π}{8}$個(gè)單位后得g（x）的圖象，可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，利用x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得cos2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+cosx）•sinx-$\frac{1}{2}$
=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}$=π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
∴f（x）的值域?yàn)?[-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$；
（3）將f（x）的圖象左移$\frac{3π}{8}$個(gè)單位后得g（x）的圖象，
∴g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin[2（x+\frac{3π}{8}）-\frac{π}{4}]$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴cos2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x∈$[-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
∴函數(shù)g（x）的最大值為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．