Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為 S_n，對于任意的正整數(shù)n，直線x+y=2n總是把圓 ${（x-n）^2}+{（y-\sqrt{S_n}）^2}=2{n^2}$平均分為兩部分，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 {b_n}中，b₆=b₃b₄，且 b₃和 b₅的等差中項是 2a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列 {c_n}的前n項和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由直線與圓的位置關(guān)系可得S_n=n²，所以a₁=S₁=1，所以a_n=2n-1；由b₆=b₃b₄，得b₁=1，又b₃和b₅的等差中項是2a₃，得q=2，從而$_{n}={2}^{n-1}$；
（2）根據(jù)T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，與2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，可得-T_n，即得T_n=3+（2n-3）2ⁿ．

解答 解：（1）由于x+y=2n總是將圓 ${（x-n）^2}+{（y-\sqrt{S_n}）^2}=2{n^2}$平均分為兩部分，
所以$n+\sqrt{{S}_{n}}=2n$，即S_n=n²，所以a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}$=2n-1，
經(jīng)檢驗n=1時也成立，所以a_n=2n-1；
等比數(shù)列{b_n}中由于b₆=b₃b₄，即$_{1}{q}^{5}=_{1}{q}^{2}•_{1}{q}^{3}$，故b₁=1，
設(shè)公比q＞0，由b₃和b₅的等差中項是2a₃，及2a₃=2×（2×3-1）=10，
可知b₃+b₅=20，所以q²+q⁴=20，解得q=2，從而$_{n}={2}^{n-1}$；
（2）若c_n=a_nb_n，則T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
所以T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
兩式相減，得$-{T}_{n}=1+2（2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）$-（2n-1）2ⁿ
=$1+2×\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-（2n-1）{2}^{n}$
=-3+2×2ⁿ-（2n-1）2ⁿ
=-3+（3-2n）2ⁿ，
所以T_n=3+（2n-3）2ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式、等差中項的應(yīng)用、錯位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題．