Question

（2013•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若存在區(qū)間M，使f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知，f'（x）=e^x+a，對(duì)字母a進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系求出極值即可；
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)a的值，使函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在M上具有相同的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)工具，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，且 f'（x）=e^x+a．
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x，故f（x）在R上單調(diào)遞增．
從而f（x）沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值．
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x=ln（-a）．f（x）和f'（x）的情況如下：

x	（-∞，ln（-a））	ln（-a）	（ln（-a），+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln（-a））；單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞）．
從而f（x）的極小值為f（ln（-a））=-a+aln（-a）；沒(méi)有極大值．
（Ⅱ）g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
③當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
④當(dāng)a＜0時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，ln（-a）≤0，此時(shí)f（x）在（ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意．
當(dāng)a＜-1時(shí)，ln（-a）＞0，此時(shí)f（x）在（-∞，ln（-a））上單調(diào)遞減，由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，符合題意．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用上述知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．