Question

如圖，圓柱OO₁的底面圓半徑為2，ABCD為經(jīng)過圓柱軸OO₁的截面，點P在

AB

上且

AP

=

1

3

APB

，Q為PD上任意一點．
（Ⅰ）求證：AQ⊥PB；
（Ⅱ）若直線PD與面ABCD所成的角為30°，求圓柱OO₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接PA，證明PA⊥PB，PB⊥AD，推出PB⊥平面PAD 利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AQ⊥PB．
（Ⅱ）過點P作PE⊥AB，E為垂足，連結(jié)CE，說明∠PDE就是直線PD與面ABCD所成的角，利用已知條件求出O1E=1，PE=

3

，然后求出AD，得到柱體的高，然后求解幾何體的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接PA，
∵AB為底面的直徑，
∴PA⊥PB，
又∵AD⊥面PAB，PB?平面PAB，
∴PB⊥AD．
又PA∩AB=A．
∴PB⊥平面PAD，
又AQ?平面PAD，
∴AQ⊥PB．

（Ⅱ）解：過點P作PE⊥AB，E為垂足，連結(jié)DE，
∵OO₁⊥平面PAB，
∴平面ABCD⊥平面PAB，
∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE就是直線PD與面ABCD所成的角，
∴∠PDE=30°，
又∵

AP

=

1

3

APB

，
∴O1E=1，PE=

3

，
又∵tan∠PDE=

PE

DE

，
∴DE=3，AD=

DE2-AE2

=

32-(2-1)2

=2

2

，
∴V=Sh=π×22×2

2

=8

2

π．

點評：本題考查幾何體的體積以及直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．