Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²（x+

π

2

）．
（1）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

4

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式可得f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+1．即可最小正周期T．利用2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)即可得出對(duì)稱軸方程；
（2）由x∈[-

π

3

，

π

4

]，可得-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+2cos²x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1+cos2x
=

3

(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)+1
=

3

sin(2x+

π

3

)+1．
即f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)+1．
∴最小正周期T=π．
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

，(k∈z)得對(duì)稱軸方程x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z．
（2 ）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．
∴f（x）的值域?yàn)?span id="emyox6p" class="MathJye">[-

1

2

，

3

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．