Question

O為坐標(biāo)原點，平面內(nèi)的向量

OA

=（1，7），

OB

=（5，1），

OM

=（6，3），點P（x，y）是線段OM上的一個動點．
（1）求x-2y的值；
（2）求

PA

•

PB

的取值范圍；
（3）當(dāng)

PA

•

PB

取最小值時，求∠APB的余弦值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理即可得出；
（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）由（1）（2）即可得出．

解答： 解：（1）∵點P在線段OM上，∴

OP

與

OM

共線，
而

OM

=(6，3)，

OP

=(x，y)，
則3x=6y，∴x-2y=0．
（2）由（1）知

OP

=(2y，y)，
∵

PA

=(1-2y，7-y)，

PB

=(5-2y，1-y)，
∴

PA

•

PB

=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8．
∵點P在線段OM上，∴y∈[0，3]，
∴當(dāng)y=2時

PA

•

PB

有最小值-8，當(dāng)y=0時

PA

•

PB

有最大值12，
即

PA

•

PB

的取值范圍為[-8，12]
（3）由（1）可知當(dāng)y=2，x=4時

PA

•

PB

有最小值-8，此時P（4，2），
∴

PA

=(-3，5)，

PB

=(1，-1)．
∴

PA

•

PB

=-3-5=-8，|

PA

|=

34

，|

PB

|=

2

．
∴

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB，
∴cos∠APB=

-8

2 × 34

=-

4 17

17

．

點評：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積的坐標(biāo)運算和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．