Question

下列命題：
（1）函數(shù)f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂則一定有f（x₁）＜f（x₂）．
（3）函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，且f(x)=

x

+1，x＞0，則當x＜0，f（x）=y=-

-x

-1；
（4）函數(shù)y=x+

1-2x

的值域為{y|y≤1}．
以上命題中所有正確的序號是

（3）

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，可判斷（1）；根據(jù)單調性為局部性質，可判斷（2），根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出函數(shù)的解析式，可判斷（3）；利用單調性法，求出函數(shù)的值域，可判斷（4）

解答：解：函數(shù)的定義域為{x|x≠2}不關于原點對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故（1）錯誤；
函數(shù)f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函數(shù)，但單調性是局部性質，函數(shù)在（a，d）上的單調性無法判斷，故（2）錯誤；
當x＜0時，-x＞0，由f(x)=

x

+1，x＞0得此時f（-x）=

-x

+1，又由奇函數(shù)的定義可得f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，故（3）正確；
函數(shù)的定義域為x≤

1

2

，且在這個區(qū)間上函數(shù)是曾函數(shù)，故函數(shù)的最大值是y（

1

2

）=

1

2

，函數(shù)y=x+

1-2x

的值域為{y|y≤

1

2

}．故（4）錯誤
綜上所述正確的命題序號為（3）
故答案為：（3）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，單調性，解析式的求法及函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．