Question

如圖，已知曲線C₁：

x2

2

-y²=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C₁，C₂都有公共點(diǎn)，則稱P為“C₁-C₂型點(diǎn)”． 
（Ⅰ）設(shè)直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”；
（Ⅱ）求證：圓x²+y²=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|＞1，再求出直線y=kx與C₁有交點(diǎn)，聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到k的范圍，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y=x±1與y=-x±1之間，進(jìn)而說明當(dāng)|k|≤1時(shí)過圓x²+y²=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C₂無公共點(diǎn)，當(dāng)|k|＞1時(shí)，過圓x²+y²=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C₂有公共點(diǎn)，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，結(jié)果與|k|＞1矛盾．從而證明了結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：直線y=kx與C₂有交點(diǎn)，則

y=kx |y|=|x|+1

⇒(|k|-1)|x|=1，
若方程組有解，則必須|k|＞1；
直線y=kx與C₁有交點(diǎn)，則

y=kx x2-2y2=2

⇒(1-2k2)x2=2，若方程組有解，則必須k2＜

1

2

故直線y=kx至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”．
（Ⅱ）證明：顯然過圓x2+y2=

1

2

內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線C₁有交點(diǎn)，則斜率必存在；
根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線l斜率存在且與曲線C₂交于點(diǎn)（t，t+1）（t≥0），則l：y-（t+1）=k（x-t）⇒kx-y+（1+t-kt）=0
直線l與圓x2+y2=

1

2

內(nèi)部有交點(diǎn)，故

|1+t-kt|

k2+1

＜

2

2

化簡得，(1+t-tk)2＜

1

2

(k2+1)…①
若直線l與曲線C₁有交點(diǎn)，則

y=kx-kt+t+1 x2 2 -y2=1

⇒(k2-

1

2

)x2+2k(1+t-kt)x+(1+t-kt)2+1=0△=4k2(1+t-kt)2-4(k2-

1

2

)[(1+t-kt)2+1]≥0⇒(1+t-kt)2≥2(k2-1)
化簡得，（1+t-kt）²≥2（k²-1）…②
由①②得，2(k2-1)≤(1+t-tk)2＜

1

2

(k2+1)⇒k2＜1
但此時(shí)，因?yàn)?span id="vm904wg" class="MathJye">t≥0，[1+t(1-k)]2≥1，

1

2

(k2+1)＜1，即①式不成立；
當(dāng)k2=

1

2

時(shí)，①式也不成立
綜上，直線l若與圓x2+y2=

1

2

內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C₁和C₂有交點(diǎn)，
即圓x2+y2=

1

2

內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”．

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．