Question

某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3-x=

k

t+1

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：
（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t （萬元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？
（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．
（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．

解答： （本題滿分（14分），（8分）+6分）．
解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當(dāng)t=0時，x=1．
所以k=2，所以3-x=

2

t+1

，…（1分）
生產(chǎn)成本為 32x+3，每件售價

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

，…（2分）
所以，y=[

3

2

(

32x+3

x

)+

t

2x

]x-(32x+3)-t…（3分）
=16x-

t

2

+

3

2

=-

32

t+1

-

t+1

2

+50，（t≥50）；…（2分）
（2）因為

32

t+1

+

t+1

2

≥8  當(dāng)且僅當(dāng)

32

t+1

=

t+1

2

，即t=7時取等號，…（4分）
所以y≤50-8=42，…（1分）
答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．