Question

1．已知圓x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0（m∈R）．
（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上；
（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；
（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)，再消去參數(shù)，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)與l平行的直線是l₁：x-3y+b=0，求出圓心到直線l₁的距離，與半徑比較，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出與直線?平行的直線的方程：x-3y+b=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到此直線的距離整理后發(fā)現(xiàn)不含有參數(shù)b，故可得結(jié)論．

解答 （1）證明：配方得：（x-3m）²+[y-（m-1）]²=25，設(shè)圓心為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=3m}\\{y=m-1}\end{array}\right.$，
消去m得x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上．
（2）解：設(shè)與l平行的直線是l₁：x-3y+b=0，
則圓心到直線l₁的距離為d=$\frac{|3m-3（m-1）+b|}{\sqrt{10}}$=$\frac{|3+b|}{\sqrt{10}}$．
∵圓的半徑為r=5，
∴當(dāng)d＜r，即-5$\sqrt{10}$-3＜b＜5$\sqrt{10}$-3時(shí)，直線與圓相交；
當(dāng)d=r，即b=±5$\sqrt{10}$-3時(shí)，直線與圓相切；
當(dāng)d＞r，即b＜-5$\sqrt{10}$-3或b＞5$\sqrt{10}$-3時(shí)，直線與圓相離．
（3）證明：對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線l₁：x-3y+b=0，由于圓心到直線l₁的距離d=$\frac{|3+b|}{\sqrt{10}}$，
弦長=2$\sqrt{{r}^{2}}-ci3ehg3^{2}$且r和d均為常量．
∴任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查弦長的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．