Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x >0時(shí)，ex >x2－2ax＋1

 

Answer 1

(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：(1)首先求出的導(dǎo)數(shù)，解方程，進(jìn)一步得到不等式與的解集，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(2)欲證當(dāng)a>ln2－1且x >0時(shí)，ex >x2－2ax＋1，

令

則只需證當(dāng)時(shí)，

從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值問(wèn)題.

試題解析：【解析】
（1）由知

令得于是當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	－	0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

 

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，間調(diào)遞增區(qū)間是

在處取得極小值，極小值為 6分

（2）設(shè)，于是

由（1）知，當(dāng)時(shí)，

最小值為

于是對(duì)任意的，都有，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意

都有

而，從而對(duì)任意，

即：故， 14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、等價(jià)轉(zhuǎn)論的思想.