Question

已知

m

=（sinB，1-cosB），且與

n

=（1，0）的夾角為

π

3

，其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)兩向量的夾角及兩向量的求出兩向量的數(shù)量積，然后再利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算，兩者計(jì)算的結(jié)果相等，兩邊平方且利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，得到關(guān)于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由B的度數(shù)，把所求的式子利用三角形的內(nèi)角和定理化為關(guān)于A的式子，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，最后利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知正弦函數(shù)值的范圍，進(jìn)而得到所求式子的范圍．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinB，1-cos B），且與

n

=（1，0）的夾角為

π

3

，
∴

m

•

n

=2sinB，
又

m

•

n

=

(sinB)2+(1-cosB)2

×1×cos

π

3

=

2-2cosB

，
∴2sinB=

2-2cosB

，化簡(jiǎn)得：2cos²B-cosB-1=0，
∴cosB=1（舍去）或cosB=-

1

2

，
又∵B∈（0，π），∴B=

2π

3

；
（2）sinA+sinC=sinA+sin（

π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin（A+

π

3

），
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
則

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴sin A+sin C∈（

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的數(shù)量積表示向量的夾角，三角函數(shù)的恒等變換以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用．學(xué)生做題時(shí)注意角度的范圍，熟練掌握三角函數(shù)公式，牢記特殊角的三角函數(shù)值，掌握正弦函數(shù)的值域．