Question

過拋物線y=2px（p＞0）焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個人交點(diǎn)的分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），試求x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．

Answer 1

分析：(1)當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．
(2)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x-

p

2

)，由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得y2-

2p

k

y-p2=0．由此能夠得到y(tǒng)₁•y₂的值和x₁•x₂的值．

解答：解：(1)當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)(

p

2

，±p)，所以x1•x2=

p2

4

，y1•y2=-p2．(2)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x-

p

2

)，
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得y2-

2p

k

y-p2=0，
∴y₁•y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y22

2p

=

p2

4

．
綜上可知，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2．

點(diǎn)評：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．