Question

7．△ABC的面積為S，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，則sin²A+sin²C的取值范圍是$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，可得cacosB=$\frac{6}{\sqrt{7}}$×$\frac{1}{2}acsinB$，化為：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$cosB．解得cosB．由于sin²A+sin²C=-$\frac{3}{4}$cos（B+2C）+1．即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{6S}{\sqrt{7}}$，
∴cacosB=$\frac{6}{\sqrt{7}}$×$\frac{1}{2}acsinB$，
化為：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$cosB．
又sin²B+cos²B=1．
解得cosB=$\frac{3}{4}$．
則sin²A+sin²C
=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$
=cosBcos（A-C）+1，
=-$\frac{3}{4}$cos（B+2C）+1．
∵B+2C∈$（arccos\frac{3}{4}，2π-2arccos\frac{3}{4}）$，
∴cos（B+2C）∈[-1，$\frac{3}{4}$）．
∴sin²A+sin²C∈$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．
故答案為：$（\frac{7}{16}，\frac{7}{4}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差化積、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．