Question

曲線y=x²+1上過(guò)點(diǎn)P的切線與曲線y=-2x²-1相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)P（x，y），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出化簡(jiǎn)，根據(jù)此直線與曲線y=-2x²-1相切，轉(zhuǎn)化成方程2x²+2xx+2-x²=0只有一解，然后利用判別式進(jìn)行求解即可．
解答：解：設(shè)P（x，y），由題意知曲線y=x²+1在P點(diǎn)的切線斜率為k=2x，
切線方程為y=2xx+1-x²，而此直線與曲線y=-2x²-1相切，
∴切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x²+2xx+2-x²=0的判別式
△=4x²-2×4×（2-x²）=0．解得x=±，y=．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（-，）．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，以及直線與二次函數(shù)相切的條件，屬于基礎(chǔ)題．