Question

在直角坐標平面內(nèi)，y軸右側(cè)的一動點P到點（，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離大．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C上的一個動點，點B，C在y軸上，若△QBC為圓（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出Q，B，C的坐標，利用直線QB是圓的切線，進而可表示出△QBC面積，換元，利用基本不等式，即可求△QBC面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題知點P到的距離與它到直線的距離相等，
所以點P的軌跡是拋物線，方程為y²=2x…（4分）
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），B（0，b），C（0，c），則即（y-b）x-xy+xb=0
由直線QB是圓的切線知，即
同理∵所以b，c是方程的兩根
∴…（8分）
∴
又，∴
由題知x＞2，∴
令t=x-2，則=≥4+4=8，當t=2即x=4時，取“=”
∴△QBC面積的最小值為8…（12分）
點評：本題考查拋物線的定義與標準方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．