Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，AE⊥平面BCDE，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6

3

，BC=CD=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACE；
（Ⅱ）設點G在棱AC上，且CG=2GA，試求二面角C-EG-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）由已知條件得四邊形BCDE為正方形，所以BD⊥CE，由此能證明BD⊥平面ACE．
（Ⅱ）以E為坐標原點，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立坐標系，利用向量法能求出二面角C-EG-D的余弦值．

解答： （I）證明：由AE⊥平面BCDE，得AE⊥BD，
又∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，BC=CD，
得四邊形BCDE為正方形，∴BD⊥CE，
又AE?平面ACE，CE?平面ACE，AE∩CE=E
故BD⊥平面ACE．…（6分）
（Ⅱ）解：由（I）知BCDE為正方形，
以E為坐標原點，EB，ED，EA所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示坐標系，
則E（0，0，0），D（0，6，0），C（6，6，0），
在直角三角形AEC中，因為EC=6，EC=6

2

，AC=6

3

，
所以EA=

(6 3 )2-(6 2 )2

=6，又CG=2GA，
所以A（0，6，0），G（2，2，4）
則

ED

=(0，6，0)，

EG

=(2，2，4)，
∵BD⊥平面ACE，∴平面ACE的一個法向量為

BD

=(-6，6，0)
設平面DEG的一個法向量為

n

=(x，y，1)
則由

n • ED =0 n • EG =0

，得

6y=0 2x+2y+4=0

，
取x=-2，則

n

=(-2，0，1)，
∵cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD |•| n |

=

10

5

∴二面角C-EG-D的余弦值為

10

5

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，二查二面角的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．