Question

已知等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，設公差不為零的等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5）．
（Ⅰ）求a_n及b_n；
（Ⅱ）設數(shù)列{log2 an}的前n項和為T_n，求使T_n＞b_n的最小的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件求出前3項，由a22=a1a3，解得a=1，從而得到an=2n-1．由已知條件得（8+3d）²=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8．從而得到b_n=8n-5．n∈N^*．
（Ⅱ）由a_n=2^n-1，得log₂a_n=n-1，故由已知條件得到

1

2

n(n-1)＞8n-5，n∈N*，由此能求出使T_n＞b_n的最小的正整數(shù)n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a₁，
a₂=S₂-S₁=2，
a₃=S₃-S₂=4，
∵a22=a1a3，∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不為零的等差數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，
（b₄+5）²=（b₂+5）（b₈+5），
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8．
∴b_n=8n-5．n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，∴l(xiāng)og₂a_n=n-1，
∴數(shù)列{log2 an}的前n項和為T_n=

n(0+n-1)

2

=

1

2

n(n-1)，
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴

1

2

n(n-1)＞8n-5，n∈N*，
解得n≥17，
∴使T_n＞b_n的最小的正整數(shù)n的值為17．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用．