Question

設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)且滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg，f（2）=lg15．
（1）通過計(jì)算f（3），f（4），…，由此猜測(cè)函數(shù)的周期T，并據(jù)周期函數(shù)的定義給出證明；
（2）求f（2009）的值．

Answer 1

解（1）f（1）=lg
f（2）=lg15
f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15 …+3
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15 …+4
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1 …+5
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg…+6
猜測(cè)：T=6 …+7
證明：f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x）
f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
所以 f（x）是一個(gè)周期為6的函數(shù)
（2）因?yàn)閒（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15
分析：（1）根據(jù)f（x+2）=f（x+1）-f（x），f（1）=lg，f（2）=lg15，可求出f（3），f（4），…，由此猜測(cè)函數(shù)的周期T，然后證明即可；
（2）根據(jù)周期性可知f（2009）=f（6×334+5）=f（5），從而求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期，以及遞推關(guān)系和猜測(cè)與證明，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．