【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上.橢圓C的左頂點(diǎn)為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B.若直線交軸于點(diǎn)C，且，求直線的斜率.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可求得三角形的面積；

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為：，利用可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案；

（1）由題意知：

解得：，所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：

其判別式

所以，則

又點(diǎn)A到直線PQ的距離為

所以三角形APQ的面積為

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，則的方程為：，

聯(lián)立方程組，消去整理得：，

恒成立，令，

由，得，

將代入中，得到，得，

解得：，.所以直線的斜率為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求證：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切；

（2）若，，求證：.

（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有一種類(lèi)型的題目，此類(lèi)題目有六個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D、E、F，其中有三個(gè)正確選項(xiàng)，滿分6分，賦分標(biāo)準(zhǔn)為“每選對(duì)一個(gè)得2分，每選錯(cuò)一個(gè)扣3分，最低得分為0分”.在某校的一次測(cè)試中出現(xiàn)了這種類(lèi)型的題目，已知此題的正確答案是A、C、D，假定考生作答的答案中選項(xiàng)的個(gè)數(shù)不超過(guò)三個(gè).

（1）若甲同學(xué)只能判斷選項(xiàng)A、D是正確的，現(xiàn)在他有兩種選擇：一種是將A、D作為答案，另一種是在B、C、E、F這四個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)與A、D組成一個(gè)含三個(gè)選項(xiàng)的答案.則甲同學(xué)的最佳選擇是哪一種？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若乙同學(xué)無(wú)法判斷所有選項(xiàng)，他決定在6個(gè)選項(xiàng)中任選3個(gè)作為答案：

（i）設(shè)乙同學(xué)此題得分為分，求的分布列；

（ii）已知有20名和乙同學(xué)情況相同的同學(xué)，且這20名考生答案互不相同，他們此題的平均得分為a分，現(xiàn)從這20名考生中任選3名考生，計(jì)算得到這3人平均得分為b分，試求a的值及的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，為的中點(diǎn)，平行于，平行于面，.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我們正處于一個(gè)大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)于大數(shù)據(jù)人才的需求也越來(lái)越大，其崗位大致可分為四類(lèi)：數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)產(chǎn)品.某市2019年這幾類(lèi)工作崗位的薪資（單位：萬(wàn)元/月）情況如下表所示：

由表中數(shù)據(jù)可得該市各類(lèi)崗位的薪資水平高低情況為（ ）

A.數(shù)據(jù)挖掘＞數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)＞數(shù)據(jù)產(chǎn)品＞數(shù)據(jù)分析

B.數(shù)據(jù)挖掘＞數(shù)據(jù)產(chǎn)品＞數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)＞數(shù)據(jù)分析

C.數(shù)據(jù)挖掘＞數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)＞數(shù)據(jù)分析＞數(shù)據(jù)產(chǎn)品

D.數(shù)據(jù)挖掘＞數(shù)據(jù)產(chǎn)品＞數(shù)據(jù)分析＞數(shù)據(jù)開(kāi)發(fā)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線分別交于 兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得以 為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，若向量與向量共線，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1是菱形，且CA＝CB1．

（1）證明：面CBA1⊥面CB1A；

（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表：

分?jǐn)?shù)不少于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計(jì)

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)

4

19

線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)

合計(jì)

45

（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；

（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

（下面的臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式其中）

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