Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求證：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切；

（2）若，，求證：.

（注：為自然對數(shù)的底數(shù).）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）曲線在處的切線為，所以只需證明有唯一解即可.
(2) 要證，即證,設(shè)，即，只要證明，然后構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，分析函數(shù)的最值，即可證明.

證明：（1）由知，在處的切線為，

當(dāng)該直線為時，可得

所以，所以，

令，則當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞增，

而，，所以存在唯一的實(shí)數(shù)（），

使得，相應(yīng)的也是唯一的，

即存在唯一-的實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切.

（2）要證，即證，

令，對于確定的，是一次函數(shù)，只要證明，

注意到對于同一，，所以只要證明

先證明①：記，則，

令，因?yàn)?/span>，所以，

由此可知在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增.

又因?yàn)?/span>，，，

所以，在區(qū)間上存在唯一實(shí)數(shù)，使得.

故在區(qū)間，遞減，在區(qū)間，遞增.

于是.①得證.

再證明②：記，

當(dāng)時，利用不等式得，

；

當(dāng)時，利用不等式（）得

，

于是，

其中二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，

當(dāng)時，最小值為，

所以.

綜上，不等式①②均成立.

所以，當(dāng)，對任意的，總有.