Question

9名數(shù)學(xué)家，每人至多會(huì)3種語(yǔ)言，每3人至少有兩人能通話(huà)，
（1）證明：至少有3人會(huì)同一種語(yǔ)言；
（2）如果把9名改為8名數(shù)學(xué)家，（1）中結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：推理和證明

分析：（1）假設(shè)沒(méi)有任意三個(gè)人會(huì)同一種語(yǔ)言，結(jié)合已知中每3人至少有兩人能通話(huà)，分析出矛盾，進(jìn)而得到假設(shè)不成立，得到原結(jié)論：至少有3人會(huì)同一種語(yǔ)言，成立．
（2）如果把9名改為8名數(shù)學(xué)家，（1）中結(jié)論不成立．

解答： 證明：（1）給9名數(shù)學(xué)家分別編為1～9號(hào)，
假設(shè)沒(méi)有任意三個(gè)人會(huì)同一種語(yǔ)言．
令1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)之間有2個(gè)語(yǔ)言相通的人（不妨令為1，2號(hào)）設(shè)為語(yǔ)言A，
剩余的1個(gè)人（3號(hào)）與4號(hào)，5號(hào)之間有2個(gè)語(yǔ)言相通的人（不妨令為3，4號(hào)）設(shè)為語(yǔ)言B，
剩余的1個(gè)人（5號(hào)）與6號(hào)，7號(hào)之間有2個(gè)語(yǔ)言相通的人（不妨令為5，6號(hào)）設(shè)為語(yǔ)言C，
剩余的1個(gè)人（7號(hào)）與8號(hào)，9號(hào)之間有2個(gè)語(yǔ)言相通的人（不妨令為7，8號(hào)）設(shè)為語(yǔ)言D，
于是得到四對(duì)語(yǔ)言相通的人（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），
和另外一個(gè)人（9號(hào)）對(duì)四對(duì)語(yǔ)言不通的人．
任取通語(yǔ)言A、B之中的人各一個(gè)和對(duì)四對(duì)語(yǔ)言不通的人組成一組（不妨令為1，3號(hào)），
則1，3之間可以通話(huà)，且通話(huà)的語(yǔ)言不能為A，B，C，D，不妨令為語(yǔ)言E，
任取通語(yǔ)言A、C之中的人各一個(gè)和對(duì)四對(duì)語(yǔ)言不通的人組成一組（不妨令為1，5號(hào)），
則1，5之間可以通話(huà)，且通話(huà)的語(yǔ)言不能為A，B，C，D，E，不妨令為語(yǔ)言F，
任取通語(yǔ)言A、D之中的人各一個(gè)和對(duì)四對(duì)語(yǔ)言不通的人組成一組（不妨令為1，7號(hào)），
則1，7之間可以通話(huà)，且通話(huà)的語(yǔ)言不能為A，B，C，D，E，F(xiàn)，不妨令為語(yǔ)言G，
則1號(hào)數(shù)學(xué)家必須會(huì)A，E，E，F(xiàn)四種語(yǔ)言，
與“每人至多會(huì)3種語(yǔ)言”矛盾，假設(shè)不成立．
故至少有3人會(huì)同一種語(yǔ)言．
（2）如果把9名改為8名數(shù)學(xué)家，則（1）中的另外一個(gè)人（9號(hào)）對(duì)四對(duì)語(yǔ)言不通的人不存在．
故此時(shí)（1）中結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單的合情推理，其中利用反證法進(jìn)行證明時(shí)推理過(guò)程比較復(fù)雜，難度較大．